Trọng tâm tứ diện là gì ? cách xác định trọng tâm của tứ diện

     

Trọng tâm của tứ diện là 1 điểm đặc trưng cần để ý trong các bài toán tương quan đến tứ diện. Vậy trọng tâm tứ diện là gì? Cách xác định trọng vai trung phong của tứ diện? Các đặc thù của trọng tâm?… trong nội dung bài viết dưới đây, 1art.vn sẽ giúp đỡ bạn tổng hợp kiến thức và kỹ năng về chủ đề này nhé!


Tìm hiểu giữa trung tâm của tứ diện là gì?

Định nghĩa trung tâm tứ diện 

Cho tứ diện ( ABCD ). Lúc ấy ( G ) là giữa trung tâm tứ diện ( ABCD ) khi và chỉ còn khi :


(overrightarrowGA+overrightarrowGB+overrightarrowGC+overrightarrowGD=0)

Mỗi tứ diện chỉ có duy tuyệt nhất ( 1 ) trọng tâm.

Bạn đang xem: Trọng tâm tứ diện là gì ? cách xác định trọng tâm của tứ diện

Cách chứng minh trọng trung khu tứ diện 

Giả sử ngoài trọng tâm ( G ) còn sống thọ một điểm ( G’ ) cũng thỏa mãn tính hóa học :

(overrightarrowG’A+overrightarrowG’B+overrightarrowG’C+overrightarrowG’D=0)

Khi đó ta có:

(0=overrightarrowGA+overrightarrowGB+overrightarrowGC+overrightarrowGD)

(=(overrightarrowGG’+overrightarrowG’A)+(overrightarrowGG’+overrightarrowG’B)+(overrightarrowGG’+overrightarrowG’C)+(overrightarrowGG’+overrightarrowG’D))

(=4overrightarrowGG’+(overrightarrowG’A+overrightarrowG’B+overrightarrowG’C+overrightarrowG’D))

(=4overrightarrowGG’)

(Rightarrow overrightarrowGG’ =0)

(Rightarrow G equiv G’) hay tồn tại độc nhất vô nhị điểm ( G ) vừa lòng :

(overrightarrowGA+overrightarrowGB+overrightarrowGC+overrightarrowGD=0)

Cách vẽ trung tâm của tứ diện ABCD

Ta tất cả ( 2 ) giải pháp vẽ giữa trung tâm tứ diện :

Cách 1: mang đến tứ diện ( ABCD ). Khi đó ( 3 ) đường thẳng nối trung điểm ( 3 ) cặp cạnh chéo nhau đồng quy trên trung điểm của từng đường. Điểm đó đó là trọng vai trung phong tứ diện ( ABCD )

Chứng minh:

*

Gọi ( M,N,P,Q ) theo lần lượt là trung điểm ( AB,BC,CD,DA )

Khi đó ta có : ( MQ , NP ) thứu tự là mặt đường trung bình của ( Delta ABD ) và ( Delta CBD )

(Rightarrow MQ // NP) ( thuộc ( // BD ) )

(Rightarrow MQ=NP=fracBD2 )

(Rightarrow MNPQ)là hình bình hành

(Rightarrow MP cap NQ) tại trung điểm mỗi đường

Tương tự đến cặp cạnh chéo cánh nhau còn lại.

Vậy ta gồm điều phải minh chứng (đpcm).

Cách 2: Cho tứ diện ( ABCD ) gồm ( G ) là giữa trung tâm của ( Delta BCD ). Bên trên đoạn thẳng ( AG ) lấy điểm ( K ) làm sao cho ( KA=3KG ). Lúc đó điểm ( K ) đó là trọng trọng điểm tứ diện ( ABCD )

Chứng minh:

*

Ta có:

Vì ( G ) là trung tâm ( Delta BCD Rightarrow overrightarrowGB+overrightarrowGC+overrightarrowGD=0)

(overrightarrowKA+overrightarrowKB+overrightarrowKC+overrightarrowKD=overrightarrowKA+(overrightarrowKG+overrightarrowGB)+(overrightarrowKG+overrightarrowGC)+(overrightarrowKG+overrightarrowGD))

(=overrightarrowKA+3overrightarrowKG+ (overrightarrowGB+overrightarrowGC+overrightarrowGD))

(=overrightarrowKA+3overrightarrowKG)

Mặt khác, do (KA=3KG Rightarrow overrightarrowKA+3overrightarrowKG=0)

( Rightarrow overrightarrowKA+overrightarrowKB+overrightarrowKC+overrightarrowKD=0 )

Vậy ( K ) là trung tâm tứ diện ( ABCD )

***Chú ý: Trong một số trong những trường vừa lòng tứ diện tất cả tính chất đặc biệt quan trọng thì ta vẫn có một số trong những cách xác minh riêng. Ví dụ xác định tâm của tứ diện đều bằng cách xác định giao của ( 4 ) đường cao hạ từ mỗi đỉnh xuống tam giác đáy đối lập của tứ diện.

Một số đặc thù trọng tâm tứ diện

Cho tứ diện ( ABCD ) có ( G ) là giữa trung tâm tứ diện. Khi ấy ta bao gồm các đặc điểm sau:

(overrightarrowGA+overrightarrowGB+overrightarrowGC+overrightarrowGD=0)( G ) là trung điểm của con đường nối ( 2 ) trung điểm ( 2 ) cạnh đối nhau bất cứ trong tứ diện.( G ) nằm trên phố nối một đỉnh của tứ diện với trung tâm của tam giác đáy tương ứng sao cho khoảng cách từ ( G ) cho đỉnh bằng ( 3 ) lần khoảng cánh từ bỏ ( G ) đến trọng tâm tam giác đáy.

Xem thêm: Grab Có Giao Hàng Khác Quận Được Không, Shipper Đã Được Giao Hàng Liên Quận Ở Tp

Bài tập liên quan đến trọng tâm tứ diện

Chứng minh 2 tứ diện gồm cùng trọng tâm

Cho tứ diện ( ABCD ) với tứ diện ( A’B’C’D’ ). Hotline ( G ) là trọng tâm tứ diện ( ABCD ). Lúc ấy ( G ) cũng là giữa trung tâm tứ diện ( A’B’C’D’ ) khi và chỉ còn khi :

(overrightarrowAA’+overrightarrowBB’+overrightarrowCC’+overrightarrowDD’=0)

Chứng minh:

Ta có:

(overrightarrowAA’+overrightarrowBB’+overrightarrowCC’+overrightarrowDD’=(overrightarrowAG+overrightarrowGA’)+(overrightarrowBG+overrightarrowGB’)+(overrightarrowCG+overrightarrowGC’)+(overrightarrowDG+overrightarrowGD’))

(=(overrightarrowAG+overrightarrowBG+overrightarrowCG+overrightarrowDG)+(overrightarrowGA’+overrightarrowGB’+overrightarrowGC’+overrightarrowGD’))

(=overrightarrowGA’+overrightarrowGB’+overrightarrowGC’+overrightarrowGD’)

Vậy: (overrightarrowAA’+overrightarrowBB’+overrightarrowCC’+overrightarrowDD’=0Leftrightarrow overrightarrowGA’+overrightarrowGB’+overrightarrowGC’+overrightarrowGD’=0)

Ta bao gồm đpcm.

Ví dụ:

Cho tứ diện ( ABCD ). điện thoại tư vấn ( M,N,P,Q ) là giữa trung tâm của ( 4 ) khía cạnh tứ diện. Chứng tỏ rằng nhị tứ diện ( ABCD ) với ( MNPQ ) gồm cùng trọng tâm

Cách giải:

*

Ta có:

(overrightarrowAM= overrightarrowAD+overrightarrowDM=overrightarrowAB+overrightarrowBM=overrightarrowAC+overrightarrowCM)

(=fracoverrightarrowAB+overrightarrowAC+overrightarrowAD3) ( vì chưng (overrightarrowMB+overrightarrowMC+overrightarrowMD=0) )

Tương từ bỏ ta có:

(overrightarrowBN=fracoverrightarrowBA+overrightarrowBC+overrightarrowBD3)

(overrightarrowCP=fracoverrightarrowCA+overrightarrowCB+overrightarrowCD3)

(overrightarrowDQ=fracoverrightarrowDA+overrightarrowDB+overrightarrowDC3)

Cộng hai vế của ( 4 ) đẳng thức bên trên ta được:

(overrightarrowAM+overrightarrowBN+overrightarrowCP+overrightarrowDQ=0)

Theo đặc thù trên (Rightarrow ABCD) cùng ( MNPQ ) tất cả cùng trọng tâm

Bài toán trọng tâm của các tứ diện sệt biệt

Tứ diện vuông là tứ diện gồm một đỉnh nhưng ( 3 ) cạnh khởi đầu từ đỉnh đó đôi một vuông góc với nhau.

*

Tứ diện đông đảo là tứ diện có tất cả các cạnh bởi nhau.Tứ diện gần đầy đủ là tứ diện có những cặp cạnh đối bởi nhau.Tứ diện trực trung ương là tứ diện có các cặp cạnh đối song một vuông góc cùng với nhau.

Xem thêm: Top 5 Bài Văn Mẫu Phân Tích Cảnh Ngày Hè Nguyễn Trãi (Dàn Ý, Phân Tích Bài Thơ Cảnh Ngày Hè Của Nguyễn Trãi

Ví dụ:

Cho ( G ) là trọng tâm của tứ diện vuông ( OABC ) ( vuông tại ( O ) ). Biết rằng ( OA=OB=OC=a ). Tính độ dài ( OG )

Cách giải:

*

Vì ( OA=OB=OC =a ) với (widehatAOC=widehatCOB=widehatBOA=90^circ)

Nên theo định lý Pitago ta gồm :

(AB=BC=CA=asqrt2)

(Rightarrow Delta ABC) đều.

Gọi ( H ) là trung khu (Rightarrow Delta ABC)

Theo tính chất trọng trung khu (Rightarrow G in OH) và (Rightarrow OG=frac34OH)

Do ( Delta ABC ) đều sở hữu độ dài cạnh bằng ( asqrt2) buộc phải (Rightarrow) độ dài mặt đường cao của ( Delta ABC ) là : (asqrt2.fracsqrt32=fracasqrt62)

(Rightarrow bảo hành =frac23.fracasqrt62=fracasqrt63)

Theo đặc điểm tứ diện vuông thì ( OH ot ( ABC) )

(Rightarrow OH =sqrtOB^2-BH^2=fracasqrt3)

( Rightarrow OG = frac34 OH =fracasqrt34 )

Bài viết trên phía trên của 1art.vn đã giúp đỡ bạn tổng hợp lý thuyết và một vài dạng bài xích tập về trung tâm của tứ diện. Hi vọng những kiến thức và kỹ năng trong nội dung bài viết sẽ góp ích cho mình trong quá trình học tập và phân tích chủ đề giữa trung tâm của tứ diện. Chúc bạn luôn học tốt!