Tính Góc Giữa 2 Đường Thẳng

     
Góc giữa hai tuyến đường thẳng trong không gian

1. Góc giữa hai tuyến đường thẳng trong không khí là gì?

Trong không gian cho 2 con đường thẳng a, b bất kỳ. Từ 1 điểm O nào kia ta vẽ 2 con đường thẳng a’, b’ lần lượt tuy vậy song cùng với a và b. Ta nhận biết rằng lúc điểm O đổi khác thì góc thân 2 con đường thẳng a với b không thế đổi.

Bạn đang xem: Tính góc giữa 2 đường thẳng

SALE 11.11 SHOPEE https://shope.ee/1VOIDFMXxP TIKI https://bitly.global/CJK6J1

*

Định nghĩa: Góc giữa hai tuyến đường thẳng trong không khí là góc giữa 2 con đường thẳng cùng đi sang một điểm và lần lượt tuy nhiên song với hai đường thẳng đã cho.

SALE 11.11 SHOPEE https://shope.ee/1VOIDFMXxP TIKI https://bitly.global/CJK6J1

2. Cách khẳng định góc giữa hai đường thẳng

Ngoài bài toán làm như trong định nghĩa, để khẳng định góc giữa 2 mặt đường thẳng a cùng b ta hoàn toàn có thể lấy điểm O thuộc 1 trong các hai con đường thẳng đó rồi vẽ một đường thẳng qua O và song song với đường thẳng còn lại.

*

SALE 11.11 SHOPEE https://shope.ee/1VOIDFMXxP TIKI https://bitly.global/CJK6J1

Hoặc ta có thể sử dụng tích vô hướng:

Nếu (overrightarrowu) là vecto chỉ phương của mặt đường thẳng a và (overrightarrowv) là vecto chỉ phương của mặt đường thẳng b với (left( overrightarrowu;overrightarrowv ight)=alpha ) thì góc thân 2 đường thẳng a với b bằng (alpha ) nếu như (0le alpha le 90^circ ) và bởi (180^circ -alpha ) trường hợp (90^circ giả dụ 2 đường thẳng a cùng b song song hoặc trùng nhau thì góc giữa chúng bởi (0^circ ). Góc thân 2 đường thẳng là góc tất cả số đo (0le alpha le 90^circ ).

3. Cách tính góc giữa hai tuyến phố thẳng

Để tính được góc giữa hai đường thẳng trong ko gian, nếu xác định (dựng) được góc giữa hai đường thẳng trong không gian và gắn chúng vào một tam giác rõ ràng thì hoàn toàn có thể sử dụng những hệ thức lượng vào tam giác nhằm tìm số đo của góc đó:

SALE 11.11 SHOPEE https://shope.ee/1VOIDFMXxP TIKI https://bitly.global/CJK6J1 Định lý hàm số cosin vào tam giác ABC: (cos widehatBAC=fracAB^2+AC^2-BC^22.AB.AC)Tương tự ta có: (cos widehatABC=fracBA^2+BC^2-AC^22.BA.BC) với (cos widehatACB=fracCA^2+CB^2-AB^22.CA.CB)Chú ý: (overrightarrowAB.overrightarrowAC=AB.ACcos widehatBAC=frac12left( AB^2+AC^2-BC^2 ight))

Ngoài ra, để tính góc giữa hai véc-tơ $vecu, vecv $ họ sử dụng có mang tích vô hướng: $$vecu . vecv = |vecu|.|vecv|.cos(left( overrightarrowu;overrightarrowv ight)$.

Tính góc giữa hai đường thẳng AB với CD ta tính góc giữa hai vectơ (overrightarrowAB) cùng (overrightarrowCD) phụ thuộc vào công thức (cos left( overrightarrowAB;overrightarrowCD ight)=fracoverrightarrowAB.overrightarrowCD overrightarrowCD ightRightarrow cos left( AB;CD ight)=fracleftleft) từ đó suy ra góc giữa hai tuyến đường thẳng AB và CD.

SALE 11.11 SHOPEE https://shope.ee/1VOIDFMXxP TIKI https://bitly.global/CJK6J1

4. Bài tập góc giữa hai tuyến phố thẳng trong ko gian

Ví dụ 1. Cho hình lập phương $A B C D cdot A^prime B^prime C^prime D^prime$ gồm cạnh là $a$. Tính góc giữa những cặp mặt đường thẳng sau đây:

$A B$ và $A^prime D^prime$.$A D$ cùng $A^prime C^prime$.$B C^prime$ cùng $B^prime D^prime$.

Lời giải.

SALE 11.11 SHOPEE https://shope.ee/1VOIDFMXxP TIKI https://bitly.global/CJK6J1

*

Ta có $A^prime D^prime / / A D$ yêu cầu $left(A B, A^prime D^prime ight)=(A B, A D)=widehatB A D=90^circ$.Ta gồm $A^prime C^prime / / A C$ đề xuất $left(A D, A^prime C^prime ight)=(A D, A C)=widehatD A C=45^circ$.Ta bao gồm $B^prime D^prime / / B D$ cần $left(B C^prime, B^prime D^prime ight)=left(B C^prime, B D ight)=widehatD B C^prime$.Ta có $B D=B C^prime=C^prime D=A B sqrt2$ phải $ riangle B D C^prime$ dều, suy ra $widehatD B C^prime=60^circ$.Vậy $left(B C^prime, B^prime D^prime ight)=60^circ$.

Ví dụ 2.

Xem thêm: Phân Tích Truyện Ngắn Lặng Lẽ Sapa Của Nguyễn Thành Long, Phân Tích Lặng Lẽ Sa Pa Hay Nhất (15 Mẫu)

đến hình chóp $S . A B C$ bao gồm $S A=S B=S C=A B=A C=a sqrt2$ và $B C=2 a$. Tính góc giữa hai tuyến đường thẳng $A C$ với $S B$.

SALE 11.11 SHOPEE https://shope.ee/1VOIDFMXxP TIKI https://bitly.global/CJK6J1

Lời giải.

*

SALE 11.11 SHOPEE https://shope.ee/1VOIDFMXxP TIKI https://bitly.global/CJK6J1

Ta gồm $S A B$ cùng $S A C$ là tam giác đều, $A B C$ và $S B C$ là tam giác vuông cân cạnh huyền $B C$.Gọi $M, N, P$ lần lượt là trung điểm của $S A, A B, B C$, ta gồm $M N / / S B, N p / / A C$ yêu cầu $(A C, S B)=(N P, M N)$.

eginaligned&M N=fracS B2=fraca sqrt22, N P=fracA C2=fraca sqrt22 . \&A P=S P=fracB C2=a, S A=a sqrt2endaligned

SALE 11.11 SHOPEE https://shope.ee/1VOIDFMXxP TIKI https://bitly.global/CJK6J1

Ví dụ 3. Cho hình chóp S.ABC gồm đáy là tam giác hầu hết cạnh a, (SAot left( ABC ight)) với (SA=asqrt3). Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của AB cùng SC. Tính cosin góc giữa hai tuyến đường thẳng AN với CM.

Cách 1: Dựng hình bình hành AMCE suy ra (AM=CE=fraca2).

SALE 11.11 SHOPEE https://shope.ee/1VOIDFMXxP TIKI https://bitly.global/CJK6J1

*

Khi đó (AE//CMRightarrow left( widehatAE;CM ight)=left( widehatAN;AE ight)=varphi .)

SALE 11.11 SHOPEE https://shope.ee/1VOIDFMXxP TIKI https://bitly.global/CJK6J1

Mặt không giống (SC=sqrtSA^2+AC^2=2aRightarrow ) độ dài đường trung tuyến AN là (AN=fracSC2=a.AE=CM=fracasqrt32.)

Do (Delta ABC) đều yêu cầu (CMot AMRightarrow ) AMCE là hình chữ nhật.

SALE 11.11 SHOPEE https://shope.ee/1VOIDFMXxP TIKI https://bitly.global/CJK6J1

Khi đó (CEot AE) nhưng mà (CEot SARightarrow CEot left( SAE ight)Rightarrow CEot SE.)

(Delta SEC) vuông tại E gồm đường trung tuyến (EN=frac12SC=a.)

SALE 11.11 SHOPEE https://shope.ee/1VOIDFMXxP TIKI https://bitly.global/CJK6J1

Ta có: (cos widehatNAE=fracAN^2+AE^2-NE^22.AN.AE=fracsqrt34>0Rightarrow cos varphi =fracsqrt34.)

Cách 2: Ta có: (overrightarrowAN=frac12left( overrightarrowAS+overrightarrowAC ight);overrightarrowCM=overrightarrowAM-overrightarrowAC=frac12overrightarrowAB-overrightarrowAC.)

SALE 11.11 SHOPEE https://shope.ee/1VOIDFMXxP TIKI https://bitly.global/CJK6J1

Khi kia (overrightarrowAN.overrightarrowCM=frac12left( overrightarrowAS+overrightarrowAC ight)left( frac12overrightarrowAB-overrightarrowAC ight)=frac14overrightarrowAB.overrightarrowAC-frac12AC^2=frac14a^2cos 60^circ -fraca^22=frac-3a^28.)

Lại có: (AN=fracSC2=a;CM=fracasqrt32Rightarrow cos varphi =fraca.fracasqrt32=fracsqrt34.)

SALE 11.11 SHOPEE https://shope.ee/1VOIDFMXxP TIKI https://bitly.global/CJK6J1

Bình luận: phụ thuộc hai phương pháp làm trên ta thấy rằng, trong một số trong những trường hợp, việc sử dụng công cố gắng vectơ để tính góc giữa hai tuyến phố thẳng giúp việc trở buộc phải dễ ràng hơn cực kỳ nhiều!.

Ví dụ 4.

Xem thêm: Cấu Trúc In Favour Of Nghĩa Là Gì ? Một Số Cụm Từ Liên Quan Thông Dụng

 Cho hình chóp S.ABC tất cả (SA=SB=SC=AB=a;AC=asqrt2) cùng (BC=asqrt3). Tính cosin góc giữa hai đường thẳng SC với AB.

SALE 11.11 SHOPEE https://shope.ee/1VOIDFMXxP TIKI https://bitly.global/CJK6J1

*

Cách 1: điện thoại tư vấn M, N, p lần lượt là trung điểm của SA, SB cùng AC. Khi ấy (left{ eginalign

SALE 11.11 SHOPEE https://shope.ee/1VOIDFMXxP TIKI https://bitly.global/CJK6J1

& MP//SC \

& N//AB \

SALE 11.11 SHOPEE https://shope.ee/1VOIDFMXxP TIKI https://bitly.global/CJK6J1

endalign ight.Rightarrow left( widehatSC;AB ight)=left( widehatMP;MN ight).)

Ta có: (MN=fracAB2=fraca2;MP=fracSC2=fraca2.)

SALE 11.11 SHOPEE https://shope.ee/1VOIDFMXxP TIKI https://bitly.global/CJK6J1

Mặt không giống (Delta SAC) vuông tại S (Rightarrow SP=fracAC2=fracasqrt22.)

(BP^2=fracBA^2+BC^22-fracAC^24=frac32a^2Rightarrow BP=fracasqrt62.)

SALE 11.11 SHOPEE https://shope.ee/1VOIDFMXxP TIKI https://bitly.global/CJK6J1

Suy ra (PN^2=fracPS^2+PB^22-fracSB^24=frac3a^24Rightarrow NP=fracasqrt32.)

Khi đó (cos widehatNMP=fracMN^2+MP^2-NP^22.MN.MP=-frac12Rightarrow widehatNMP=120^circ Rightarrow varphi =left( widehatSC;AB ight)=60^circ .)

SALE 11.11 SHOPEE https://shope.ee/1VOIDFMXxP TIKI https://bitly.global/CJK6J1

Cách 2: Ta có: (overrightarrowAB=overrightarrowSB-overrightarrowSARightarrow overrightarrowAB.overrightarrowSC=left( overrightarrowSB-overrightarrowSA ight).overrightarrowSC=overrightarrowSB.overrightarrowSC-overrightarrowSA.overrightarrowSC)

(=frac12left( SB^2+SC^2-AC^2 ight)-frac12left( SA^2+SC^2-AB^2 ight)=-fraca^22.)

SALE 11.11 SHOPEE https://shope.ee/1VOIDFMXxP TIKI https://bitly.global/CJK6J1

Suy ra (cos left( SC;AB ight)=frac frac-a^22 ighta.a=frac12Rightarrow left( SC;AB ight)=60^circ .)