Phương trình có nghiệm kép khi nào

     

Sau khi đã làm cho quen cùng với hệ phương trình số 1 2 ẩn, thì phương trình bậc 2 một ẩn chính là nội dung tiếp theo sau mà các em sẽ học, đây cũng là nội dung thông thường có trong lịch trình ôn thi vào lớp 10 THPT.

Bạn đang xem: Phương trình có nghiệm kép khi nào


Vì vậy, trong nội dung bài viết này bọn họ cùng tra cứu hiểu cách giải phương trình bậc 2 một ẩn, phương pháp tính nhẩm nghiệm nhanh bằng hệ thức Vi-et, mặt khác giải một vài dạng toán về phương trình bậc 2 một ẩn để thông qua bài tập những em sẽ nắm vững nội dung lý thuyết.


I. Tóm tắt lý thuyết về Phương trình bậc 2 một ẩn

1. Phương trình số 1 ax + b = 0

- Nếu a ≠ 0, phương trình bao gồm nghiệm độc nhất vô nhị x=(-b/a)

- trường hợp a = 0, b ≠ 0, phương trình vô nghiệm

- nếu a = 0, b = 0, phương trình tất cả vô số nghiệm

2. Phương trình bậc 2: ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)

a) Công thức nghiệm của phương trình bậc 2 một ẩn:

• Tính

*

+) Δ > 0: PT tất cả 2 nghiệm:

*
;
*

+) Δ = 0: PT tất cả nghiệm kép:

*

+) Δ 0: PT tất cả 2 nghiệm:

*
;
*

+) Δ" = 0: PT bao gồm nghiệm kép:

*

+) Δ" b) Định lý Vi-et:

- gọi x1 với x2 là 2 nghiệm của PT bậc 2 một ẩn ax2 + bx + c = 0 (a≠0):

 ; 

*

- Ta hoàn toàn có thể sử dụng định lý Vi-et để tính những biểu thức của x1 , x2 theo a,b,c:

 ♦ 

 ♦ 

*

 ♦ 

*
 
*

 ♦ 

*

c) Định lý Vi-et đảo:

- trường hợp x1 + x2 = S và x1.x2 = p thì x1, x2 là nghiệm của phương trình: X2 - SX + p. = 0 (Điều kiện S2 - 4P ≥ 0)

d) Ứng dụng của định lý Vi-et

* Tính nhẩm nghiệm phương trình bậc 2:

- nếu a + b + c = 0 thì: x1 = 1 và x2 = (c/a);

- nếu a - b + c = 0 thì: x1 = -1 với x2 = (-c/a);

* search 2 số lúc biết tổng với tích

- mang lại 2 số x, y, biết x + y = S với x.y = p. Thì x, y là nghiệm của phương trình: X2 - SX + p. = 0

* đối chiếu thành nhân tử

- nếu phương trình: ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) gồm 2 nghiệm x1, x2 thì ax2 + bx + c = a(x - x1)(x - x2) = 0

* xác định dấu của các nghiệm số

- cho phương trình: ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0), giả sử PT bao gồm 2 nghiệm x1, x2 thì S = x1 + x2 = (-b/a); p. = x1x2 = (c/a)

- Nếu p

- Nếu phường > 0 và Δ > 0 thì phương trình có 2 nghiệm thuộc dấu, khi đó nếu S > 0 thì phương trình có 2 nghiệm dương, S

II. Một vài dạng toán phương trình bậc 2 một ẩn

Dạng 1: Giải phương trình bậc 2 một ẩn

* Phương pháp:

+ Trường thích hợp 1: Phương trình bậc 2 khuyết hạng tử bậc nhất:

- chuyển hạng tử tự do thoải mái sang vế phải

- Chia cả 2 vế cho thông số bậc 2, đem về dạng x2 = a.

+ ví như a > 0, phương trình tất cả nghiệm x = ±√a

+ nếu a = 0, phương trình gồm nghiệm x = 0

+ giả dụ a

+ Trường phù hợp 2: Phương trình bậc 2 khuyết hạng tử dự do:

- so sánh vế trái thành nhân tử bằng cách thức đặt nhân tử chung, đem đến phương trình tích rồi giải.

+ Trường hợp 3: Phương trình bậc 2 đầy đủ:

- sử dụng công thức nghiệm, hoặc công thức nghiệm thu gọn để giải

- áp dụng quy tắc tính nhẩm nghiệm để tính nghiệm đối với 1 số phương trình đặc biệt.

 Ví dụ: Giải các phương trình sau:

 a) 2x2 - 4 = 0  b) x2 + 4x = 0

 c) x2 - 5x + 4 = 0

* Lời giải:

a) 2x2 - 4 = 0 ⇔ 2x2 = 4 ⇔ x2 = 2 ⇔ x = ±√2.

⇒ Kết luận: Phương trình có nghiệm x=±√2.

b) x2 + 4x = 0 ⇔ x(x+4) = 0

 ⇔ x = 0 hoặc x + 4 =0

 ⇔ x = 0 hoặc x = -4

⇒ Kết luận: Phương trình gồm nghiệm x=0 và x=-4.

c) x2 - 5x + 4 = 0

* giải pháp giải 1: áp dụng công thức nghiệm

 

*

 

*

 ⇒ PT gồm 2 nghiệm phân biệt:  

*
 ;
*

 ⇒ Kết luận: Phương trình bao gồm nghiệm x=1 và x=4.

* biện pháp giải 2: nhẩm nghiệm

- PT đã cho: x2 - 5x + 4 = 0 có những hệ số a=1; b=-5; c=4 cùng ta thấy: a + b + c = 1 - 5 + 4 = 0 nên theo ứng dụng của định lý Vi-ét, ta có x1 = 1; x2 = c/a = 4/1 = 4

 ⇒ Kết luận: Phương trình gồm nghiệm x=1 và x=4.

Xem thêm: Giải Thích Câu Nói: Có Đức Mà Không Có Tài Là Người Vô Dụng ”

* Một số chú ý khi giải phương trình bậc 2:

♦ Nếu chạm chán hằng đẳng thức 1 và 2 thì đem đến dạng tổng quát giải bình thường, không đề xuất giải theo công thức, ví dụ: x2 - 2x + 1 = 0 ⇔ (x-1)2 = 0 ⇔ x = 1.

♦ Phải bố trí lại đúng vật dụng tự các hạng tử để lập thành phương trình ax2 + bx + c = 0 rồi mới vận dụng công thức, ví dụ: x(x - 5) = 6 ⇔ x2 - 5x = 6 ⇔ x2 - 5x - 6 = 0 ⇔ vận dụng công thức giải tiếp,...

♦ không phải lúc nào x cũng chính là ẩn số mà rất có thể là ẩn y, ẩn z ẩn t xuất xắc ẩn a, ẩn b,... Tùy vào bí quyết ta chọnbiến, ví dụ: a2 - 3a + 2 = 0; t2 - 6t + 5 = 0.

Dạng 2: Phương trình đưa về phương trình bậc 2 bằng cách thức đặt ẩn phụ

a) Phương trình trùng phương: ax4 + bx2 + c = 0 (a≠0)

* Phương pháp:

 - Đặt t = x2 (t≥0), gửi PT về dạng: at2 + bt + c = 0

 - Giải PT bậc 2 theo t, kiểm tra nghiệm t tất cả thoả điều kiện hay không, nếu như có, trở về phương trình x2 = t để tìm nghiệm x.

b) Phương trình chứa ẩn sinh hoạt mẫu:

* Phương pháp:

- tra cứu điều kiện khẳng định của phương trình

- Quy đồng mẫu mã thức 2 vế rồi khử mẫu

- Giải phương trình vừa thừa nhận được

- chất vấn điều kiện các giá trị search được, loại các giá trị không bằng lòng điều kiện, những giá trị thoả điều kiện xác định là nghiệm của phương trình sẽ cho.

 Ví dụ: Giải phương trình sau:

a) x4 - 3x2 + 2 = 0

b) 

*

* Lời giải:

a) x4 - 3x2 + 2 = 0 (*)

- Đặt t = x2 (t ≥ 0) ta có (*) ⇔ t2 - 3t + 2 = 0

- Ta thấy a + b + c = 0 ⇒ t = 1 hoặc t = 2 (đều thoả ĐK t ≥ 0)

- với t = 1: x2 = 1 ⇒ x = ±1

- với t = 2: x2 = 2 ⇒ x = ±√2

⇒ Kết luận: Phương tình gồm nghiệm (-√2; -1; 1; √2)

b) 

*
 (*)

 ĐK: x ≠ 3; x ≠ 2

 - Quy đồng khử mẫu, PT (*) ta được:

 (x+2)(2-x) - 9(x-3)(2-x) = 6(x-3)

⇔ 4 - x2 - 9(-x2 + 5x - 6) = 6x - 18

⇔ 4 - x2 + 9x2 -45x + 54 - 6x + 18 = 0

⇔ 8x2 - 51x + 76 = 0

*
*

*
 ;

*

- cả 2 nghiệm trên mọi thoả ĐK x ≠ 3; x ≠ 2; 

⇒ PT bao gồm nghiệm: x1 = 19/8 cùng x2 = 4;

Dạng 3: Giải biện luận số nghiệm của phương trình bậc 2 gồm tham số

* Phương pháp:

 - thực hiện công thức nghiệm, hoặc công thức sát hoạch gọn để giải,

 - Tính 

*
 theo tham số:

+ Nếu Δ > 0: phương trình bao gồm 2 nghiệm phân biệt

+ Nếu Δ = 0: phương trình có nghiệm kép

+ Nếu Δ

 Ví dụ: Giải biện luận theo m, phương trình: mx2 - 5x - m - 5 = 0 (*)

* Lời giải:

- Trường phù hợp m = 0 thì (*) trở thành: -5x - 5 = 0 ⇒ x = -1

- Trường hợp m ≠ 0, ta có:

*

= 25 + 4m(m+5) = 25 + 4m2 + 20m = (2m+5)2

- Ta thấy: Δ = (2m+5)2 ≥ 0, ∀ m yêu cầu PT(*) sẽ luôn luôn có nghiệm

+ Nếu Δ = 0 ⇒ m =-5/2 thì PT (*) có nghiệp duy nhất: 

*

+ Nếu Δ = 0 ⇒ m -5/2 thì PT (*) có 2 nghiệm phân biệt:

*

Dạng 4: khẳng định tham số m để phương trình bậc 2 thoả mãn điều kiện nghiệm số

* Phương pháp

- Giải phương trình bậc 2, tìm x1; x2 (nếu có)

- Với đk về nghiệm số của đề bài xích giải tìm m

- Bảng xét dấu nghiệm của phương trình bậc 2 một ẩn:

*

* giữ ý: Nếu bài toán yêu ước phương trình bao gồm 2 nghiệm biệt lập thì ta xét Δ > 0 ; còn ví như đề bài chỉ nói thông thường chung phương trình tất cả 2 nghiệm thì ta xét Δ ≥ 0.

Tìm đk tổng quát để phương trình ax2 + bx + c = 0 (a≠0) có:

 1. Bao gồm nghiệm (có nhị nghiệm) ⇔ Δ ≥ 0

 2. Vô nghiệm ⇔ Δ

 3. Nghiệm độc nhất vô nhị (nghiệm kép, nhì nghiệm bằng nhau) ⇔ Δ = 0

 4. Gồm hai nghiệm sáng tỏ (khác nhau) ⇔ Δ > 0

 5. Hai nghiệm cùng dấu ⇔ Δ ≥ 0 và p. > 0

 6. Nhị nghiệm trái lốt ⇔ Δ > 0 và phường

 7. Nhị nghiệm dương (lớn hơn 0) ⇔ Δ ≥ 0; S > 0 và phường > 0

 8. Nhị nghiệm âm (nhỏ hơn 0) ⇔ Δ ≥ 0; S 0

 9. Nhị nghiệm đối nhau ⇔ Δ ≥ 0 cùng S = 0

 10.Hai nghiệm nghịch hòn đảo nhau ⇔ Δ ≥ 0 và p = 1

 11. Hai nghiệm trái dấu với nghiệm âm có mức giá trị tuyệt vời và hoàn hảo nhất lớn hơn ⇔ a.c

 12. Hai nghiệm trái dấu với nghiệm dương có giá trị tuyệt vời nhất lớn hơn ⇔ a.c 0

 Ví dụ: mang đến phương trình bậc 2 ẩn x thông số m: x2 + mx + m + 3 = 0 (*)

a) Giải phương trình với m = -2.

b) kiếm tìm m để phương trình bao gồm 2 nghiệm x1 , x2 thoả x12 + x22 = 9

c) kiếm tìm m để phương trình có 2 nghiệm x1 , x2 thoả 2x1 + 3x2 = 5

* Lời giải:

a) với m = -2 thì (*) ⇔ x2 - 2x + 1 = 0

- Ta thấy, a + b + c = 0 yêu cầu theo Vi-et PT tất cả nghiệm: x1 = 1; x2 = c/a = 1; 

- Hoặc: x2 - 2x + 1 = 0 ⇔ (x-1)2 = 0 nên gồm nghiệp kép: x = 1

b) Để PT: x2 + mx + m + 3 = 0 bao gồm 2 nghiệm thì:

 

*

- lúc ấy theo định lý Vi-et ta có: x1 + x2 = -m với x1x2 = m+3

 Mà x12 + x22 = x12 + 2x1x2 + x22 - 2x1x2

= (x1 + x2)2 - 2x1x2 = (-m)2 - 2(m+3) = mét vuông - 2m - 6

- vị đó, để: x12 + x22 = 9 ⇔ m2 - 2m - 6 = 9 ⇔ m2 - 2m - 15 = 0

 Ta tính Δ"m = (-1)2 - 1(-15) = 16 ⇒ 

*

 ⇒ PT tất cả 2 nghiệm m1 = (1+4)/1 = 5 và mét vuông = (1-4)/1 = -3

- test lại ĐK của m để Δ ≥ 0:

_ cùng với m = 5 ⇒ Δ = 25 - 32 = -7

_ cùng với m = -3 ⇒ Δ = 9 > 0 (thoả ĐK)

⇒ Vậy với m = -3 thì PT (*) gồm 2 nghiệm thoả x12 + x22 = 9

c) Theo câu b) PT gồm 2 nghiệm x1 , x2 ⇔ Δ ≥ 0

Theo Vi-et ta có: 

*

- Theo yêu cầu việc ta bắt buộc tìm m sao cho: 2x1 + 3x2 = 5, ta vẫn tìm x1 và x2 theo m

- Ta giải hệ:

*
*

- Lại có x1x2 = m + 3 ⇒ (-3m-5)(2m+5) = m+3

 ⇔ -6m2 - 25m - 25 = m + 3

 ⇔ 6m2 + 26m + 28 = 0

 ⇔ 3m2 + 13m + 14 = 0

 Tính Δm = 132 - 4.3.14 = 1 > 0.

Xem thêm: Cân Bằng Pthh Crcl3 + Cl2 + Koh, Cl2 + Koh + Crcl3 = H2O + Kcl + K2Cro4

 ⇒ PT tất cả 2 nghiệm phân biệt: m1 = -7/3; mét vuông = -2

- demo lại điều kiện: Δ ≥ 0;

_ với m = -7/3; Δ = 25/9 > 0 (thoả)

_ với m = -2; Δ = 0 (thoả)

⇒ Kết luận: với m=-2 hoặc m=-7/3 thì PT bao gồm 2 nghiệm thoả 2x1 + 3x2 = 5.

Dạng 5: Giải bài bác toán bằng cách lập phương trình

* Phương pháp: Vận dụng hoạt bát theo yêu cầu câu hỏi để lập phương trình và giải

 Ví dụ: trong những khi học đội Hùng yêu thương cầu bạn Minh và chúng ta Lan mỗi người lựa chọn 1 số, làm thế nào cho 2 số này hơn nhát nhau là 5 với tích của chúng phải bằng 150, vậy 2 chúng ta Minh và Lan bắt buộc chọn cơ mà số nào?

* Lời giải:

- gọi số các bạn Minh chọn là x, thì số bạn Lan chọn sẽ là x + 5

- Theo bài xích ra, tích của 2 số này là 150 bắt buộc ta có: x(x+5) = 150

 ⇔ x2 + 5x - 150 = 0

 

*

- Phương trình gồm nghiệm x1 = 10; x2 = -15

- Vậy có 2 cặp số thỏa là: (10; 15) với (-15; -10)

III. Bài tập Phương trình bậc 2 một ẩn

Bài 12 trang 42 sgk toán 9 tập 2: Giải các phương trình sau: 

a) x2 - 8 = 0 b) 5x2 - đôi mươi = 0 c) 0,4x2 + 1 = 0

d) 2x2 + x√2 = 0 e) -0,4x2 + 1,2x = 0

* Lời giải Bài 12 trang 42 sgk toán 9 tập 2:

a) x2 - 8 = 0 ⇔ x2 = 8 ⇔ x = ±2√2

b) 5x2 - đôi mươi = 0 ⇔ x2 = 4 ⇔ x = ±2

c) 0,4x2 + 1 = 0 ⇔ x2 = -2,5 ⇔ PT vô nghiệm

d) 2x2 + x√2 = 0 ⇔ x√2.(x√2 +1) = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = -1/√2

e) -0,4x2 + 1,2x = 0 ⇔ 0,4x(-x+3) = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 3

Bài 16 trang 45 sgk toán 9 tập 2: Dùng phương pháp nghiệm giải các phương trình sau

a) 2x2 - 7x + 3 = 0 b) 6x2 + x + 5 = 0

c) 6x2 + x - 5 = 0 d) 3x2 + 5x + 2 = 0

e) y2 - 8y + 16 =0 f) 16z2 + 24z + 9 = 0

* Lời giải Bài 16 trang 45 sgk toán 9 tập 2:

a) 2x2 - 7x + 3 = 0

 

*

- Phương trình gồm 2 nghiệm phân biệt:

 

*
 ;
*

b) PT vô nghiệm

c) x1 = -1; x2 = 5/6

d) x1 = -1; x2 = -2/3

e) nghiệm kép: y = 4

f) nghiệm kép: z = -3/4

III. Luyện tập những dạng bài bác tập phương trình bậc nhì một ẩn

Bài 1: Giải các phương trình sau:

a) 

*

b) 

*

c) 

*

d) 

*

e) 

*

Bài 2: Giải các phương trình sau bằng cách thức tính nhẩm nghiệm

a) 

*

b) 

*

c) 

*

d) 

*

e) 

*

f) 

*

Bài 3: call x1 và x2 là nghiệm của phương trình x2 - 3x - 7 = 0. Không giải phương trình tính giá trị của những biểu thức sau:

1) 

*

2) 

*

3) 

*

4) 

*

5) 

*

Bài 4: Gọi x1 và x2 là nghiệm của phương trình 3x2 + 5x - 6 = 0. Ko giải phương trình tính giá chỉ trị của những biểu thức sau:

1) 

*

2) 

*

Bài 5: Cho phương trình (2m-1)x2 - 2mx + 1 = 0. Khẳng định m nhằm phương trình trên gồm nghiệm thuộc khoảng chừng (-1;0)